\documentstyle[12pt,epsfig,german]{letter}
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\newcommand{\rmd}{{\rm d}}
\parindent 0 pt

\begin{document}

\centerline{{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 7} 
\medskip
\centerline{\it FFT und Faltung}

{\bf L\"osungen.\ } 
Bitte protokollieren Sie Ihre L\"osungen wieder schriftlich und 
geben Sie das Protokoll am Ende der \"Ubung oder bis sp\"atestens zum
auf die \"Ubung folgenden Donnerstag ab. Erstellen Sie - falls n"otig
- auch Ausdrucke der Diagramme.\\
\centerline{Fragen an:\hfill 
\begin{tabular}{lr}
Marc L\"atzel & \texttt{marc@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Christian Manwart & \texttt{chris@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Schwarzer & \texttt{sts@ica1.uni-stuttgart.de}\\
\end{tabular}}

\medskip

\vspace{1.0cm}

In dieser "Ubung wird zur Berechnung der Fouriertransformierten
$f(\nu)$ einer Funktion $f(t)$ ein Fast Fourier Transformation (FFT)
Algorithmus verwendet. Die FFT Routine ist einer Sammlung
wissenschaftlicher C-Programme (Numerical Recipes in C) entnommen. Sie
bildet das Herzst"uck der Klasse {\tt NR\_FFT}. Die Verwendung von {\tt
  NR\_FFT} sowie der in Aufgabenteil c) ben"otigten Klasse {\tt
  Blackbox} entnehmen Sie {\tt main.cc}. 

{\bf Aufgabe}

a)  Berechnen Sie die Fouriertransformierte bzw. die
Fouriercosinustransformierte von
$\cos(\frac{2\pi}{16\Delta_t}t\Delta_t)$ mit $t=0,1,\dots, t_{\rm
  max}$ und $t_{\rm max} = 256, 512, 1024, 2048, 4096$ einmal unter
Verwendung der Klasse {\tt NR\_FFT} und einmal mit ihrem Programm aus
der 5. "Ubung. Messen Sie jeweils den Zeitbedarf mit dem Unix-Kommando
{\tt time} und tragen ihn in einem Diagramm auf.

b) Schreiben Sie ein Programm, welches unter Verwendung des Faltungssatzes
\begin{equation}
  {\cal F}(F)(\nu) = {\cal F}(h)(\nu){\cal F}(f)(\nu)
\end{equation}
die Faltung
\begin{equation}
  F(t) = \int_{-\infty}^{\infty}h(t-t^\prime)f(t^\prime){\rm
    d}t^\prime
\end{equation}
zweier Funktionen $h(t)$ und $f(t)$ berechnet. "Uberpr"ufen Sie den
Faltungssatz, indem Sie die Faltung zweier von Ihnen frei gew"ahlter
Funktionen einmal im Zeitraum und einmal durch Multiplikation im
Frequenzraum und anschlie"sende R"ucktransformation berechnen. F"ur
die Berechnung im Zeitraum k"onnen Sie Ihr (leicht modifiziertes)
Programm aus der letzten "Ubungsstunde verwenden. Welchen Vorteil hat
die Berechnung der Faltung im Frequenzraum gegen"uber der Berechnung im
Zeitraum?

c) Die Klasse {\tt Blackbox} simuliert einen
Signalverarbeiter. Bestimmen Sie durch geeignete Eingangsdaten den
Frequenzgang der "`blackbox"'. Stellen Sie den Frequenzgang in einem
{\tt gnuplot} Schaubild dar. 

d) In {\tt signal.dat} finden Sie ein Me"ssignal, welches am Ausgang
der "`blackbox"' gemessen wurde. Unter Zuhilfenahme der Ergebnisse der
vorausgegangene Aufgabenteile k"onnen Sie nun das Eingangssignal
rekonstruieren. 

\vfill

\begin{center}
  {\bf Die n"achsten "Ubungen finden am 08.06.1999 statt.} 
\end{center}

\end{document}

