\documentstyle[12pt,epsfig,german]{letter}
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\newcommand{\rmd}{{\rm d}}
\parindent 0 pt

\begin{document}

\centerline{{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 6} 
\medskip
\centerline{\it Korrelationsfunktionen}

{\bf L\"osungen.\ } 
Bitte protokollieren Sie Ihre L\"osungen wieder schriftlich und 
geben Sie das Protokoll am Ende der \"Ubung oder bis sp\"atestens zum
auf die \"Ubung folgenden Donnerstag ab. Erstellen Sie - falls n"otig
- auch Ausdrucke der Diagramme.\\
\centerline{Fragen an:\hfill 
\begin{tabular}{lr}
Marc L\"atzel & \texttt{marc@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Christian Manwart & \texttt{chris@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Schwarzer & \texttt{sts@ica1.uni-stuttgart.de}\\
\end{tabular}}

\medskip

\vspace{1.0cm}

Die Korrelationsfunktion $c(\tau)$ zweier reeller Funktionen $f(t)$ und
$g(t)$ ist definiert als 
\begin{equation}
c(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t+\tau)g(t)dt .
\end{equation}
Im diskreten Fall sei $c_\tau$ f"ur zwei Zeitreihen $f_t$ und $g_t$
mit $t= 0, \dots ,N-1$ definiert als
\begin{equation}
c_\tau=\frac{1}{N}\sum_{t=0}^{N-1}f_{t+\tau}g_{t}
\end{equation}
mit $f_{t+\tau}=~f_{(t+\tau)~ {\rm mod~ N}}$ periodisch fortgesetzt.

\vfill
{\bf Aufgabe}
a) Schreiben Sie ein Programm zur Berechnung zweier beliebiger
Zeitreihen $f_t$ und $g_t$ mit $t=0,\dots ,N-1$. Die Ausgabe soll in
einem {\tt gnuplot}-Format erfolgen.

b) Gegeben seien die beiden Zeitreihen 
\begin{equation}
f_t=\left \{ \begin{array}{cl}
1 & {\rm f"ur}~20 \le t\le 25\\
0 & {\rm sonst}\end{array} \right.
~~~
g_t= \left \{ \begin{array}{cl}
1 & {\rm f"ur}~90 \le t \le 95\\
0 & {\rm sonst}\end{array} \right.
\end{equation}
mit $t=0,\dots ,99$. Beschreiben Sie die
Korrelationsfunktion. Welcher Bereich f"ur $\tau$ erscheint Ihnen
sinnvoll? Welche Information entnehmen Sie der Lage der
Korrelationsfunktion?

c) Korrelieren Sie die Funktion
\begin{equation}
f_t=\left \{ \begin{array}{cl}
1 & {\rm f"ur}~t~ {\rm mod}~ 20~=0\\
0 & {\rm sonst}\end{array} \right.
\end{equation}
und die Funktion 
\begin{equation}
g_t=\left \{ \begin{array}{lc}
t & {\rm f"ur}~0\le t \le 5\\
10-t & {\rm f"ur}~5< t \le 10\\
0 & {\rm sonst}
\end{array} \right.
\end{equation}
Beschreiben Sie die Korrelationsfunktion.

d) Verwenden Sie nun zur Korrelation die Datei {\tt rauschen.dat}.
Diese Datei enth"alt eine stochastische Zeitreihen mit 10000 Werten.
Beschreiben Sie die Korrelationsfunktion die Sie erhalten, wenn Sie
die Datei mit sich selbst korrelieren (Autokorrelation). Berrechnen
Sie das Quadrat des Mittelwertes der Zeitreihe und stellen Sie den
Wert in dem Diagramm der Korrelationsfunktion da. Was k"onnen Sie nun
"uber die Korrelationsfunktion von stochastischen, d.h. unkorrelierten
Signalen aussagen?

e) In der Datei {\tt verrauscht.dat} finden Sie die Zeitreihe einer
verrauschten, periodischen Funktion. Wie k"onnen Sie Ihre bisherigen
Erkenntnisse nutzen um an das eigentliche Signal zu gelangen. Um was
f"ur eine Funktion handelt es sich bei dem Signalverlauf?

f) In der letzten Vorlesung wurde ein einfacher Echolotversuch
vorgestellt. In den Dateien {\tt sender.dat} und {\tt empfaenger.dat}
finden Sie zwei Zeitreihen die dem ausgesandten sowie dem
reflektierten Signal in diesem Versuch "ahneln. Wie weit stand der
Sender von der reflektierenden Wand entfernt (Hinweis
Schallgeschwindigkeit betrage 340 m/s. Die Aufl"osung der Zeitreihen
betr"agt $\Delta t=0.1 ms$).

\vfill

\begin{center}
  {\bf Die n"achsten "Ubungen finden am 01.06.1999 statt.} 
\end{center}

\end{document}

