\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4}
\usepackage{german}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer I}
\bigskip
\centerline{\bf \"UBUNG 6} 
\medskip
\centerline{\it Gew\"ohnliche Differentialgleichungen}

\begin{center}
Bitte protokollieren Sie Ihre Arbeit an diesem \"Ubungsblatt, 
und geben Sie die Antworten auf die Fragen am Ende der \"Ubung
Ihrem Assistenten! Bei Nichtanwesenheit senden Sie bitte 
e-mail (reines Textformat, moeglichst keine attachments) an eine
der umseitigen Addressen. 
\end{center}
\bigskip
\bigskip


{\bf Aufgabe 1.\ } {\it Euler-Verfahren} \\
Machen sie sich mit dem Programm \verb|osc_euler.cc| vertraut. Darin wird der
unged\"ampfte harmonische Oszillator  $\ddot{x} = -x$ (d.h., $k=1,\
m=1$, bzw. $k/m=1$) mit Hilfe des Euler-Verfahrens integriert. \\
a) Plotten sie die Ergebnisse der Integration von $0$
bis $8 \pi$ f\"ur den unged"ampften harmonischen Oszillator
mit der Schrittweite ${\rm dt}=0.1,0.03,0.01,0.003$ und den
Anfangsbedingungen $x(0)=0$ und $v(0)=1.$ \\
b) Vergleichen Sie im gleichen Plot die numerische mit der
analytischen L\"osung $x(t) = v(0) \sin(t).$\\
\verb| gnuplot> plot "data", sin(x) |\\
Beschreiben Sie den Verlauf der Amplitude f\"ur verschiedene Werte des
Zeitschrittes!\\ 
(c) {\it freiwillige Zusatzaufgabe:} Modifizieren Sie die
Bewegungsgleichungen durch Einf\"ugen eines Reibungstermes 
$-2 \gamma \dot{x}$ , um einen ged\"ampften Oszillator zu integrieren. 
Vergleichen Sie mit Hilfe von {\tt gnuplot} die sich ergebenden
Trajektorien f\"ur $\gamma = 0.1$ und die
Integrationsschrittweiten ${\rm dt}=0.1,0.03,0.01,0.003$ 
mit den theoretischen 
\begin{equation}
  x(t) = v(0) \exp(-\gamma t) \sin(t). 
\end{equation}

\medskip
\noindent {\bf Warnung: Verwenden Sie das Euler-Verfahren
niemals f\"ur ernsthafte Anwendungen im Bereich gew\"ohnlicher
Differentialgleichungen!}\\

\bigskip
{\bf Aufgabe 2.\ } {\it Verlet-Verfahren} \\
Mit dem Euler-Verfahren 
haben wir in Aufgabe 1 ein (schlechtes) Verfahren 
zur L"osung von
Differentialgleichungssystemen erster Ordnung
der Form
\[
\dot{x} = f(x,t)
\]
kennengelernt. Es gibt nun spezielle Verfahren f\"ur die 
Systeme zweiter Ordnung, die in der Physik h\"aufig als
Bewegungsgleichungen auftreten.  
Das Verlet-Verfahren ist ein solches Verfahren zur
L\"osung von Differentialgleichungssystemen zweiter Ordnung
\[
\ddot{x} = f(x,t).
\]
~\\
a) F"uhren sie dieselben Schritte wie in Aufgabe 1a) auch mit dem
Verlet-Verfahren (Datei \verb|osc_verlet.cc|) durch. 
Was \"andert sich?

\bigskip

{\bf Aufgabe 3.\ } {\it Vergleich und Genauigkeit} \\
a) Wie gro{\ss} m\"ussen die Zeitschritte f\"ur das Euler-Verfahren
sein, um dieselbe absolute Genauigkeit (Abweichung vom analytischen
Wert) zu erreichen wie mit dem Verlet-Verfahren? Fixieren sie dazu
den Zeitschritt des Verlet-Verfahrens bei $0.2$ und bei  $0.05$. 
Versuchen Sie, bei einer Integration bis $t =100\pi$ mit dem 
Euler-Verfahren dieselbe absolute Genauigkeit (vergleichbarer Verlauf
der Einhuellenden der Amplitude)
zu erzielen. Welche Zeitschritte (f\"ur $0.2$ bzw. $0.05$ bei Verlet) 
sind daf\"ur im Euler-Verfahren etwa erforderlich?\\

{\bf Aufgabe 4.\ } {\it freiwillig, zum Nachdenken bei Gelegenheit} \\
Wir haben oben die Oszillator-Bewegungsgleichung in der Form 
$\ddot{x} = -x$ (I) integriert, w\"ahrend Sie 
sicherlich die Form $m\ddot{x} = -kx$ (II) gewohnt waren. Wir wollen uns 
\"uberlegen, welche Vorteile bzw. Nachteile 
die erste Form (I) hat.\\   
a) Um einzusehen, da\ss{} (I) keine Beschr\"ankung der Allgemeinheit
darstellt, setzen wir an: $x = x_0 \tilde x,$ sowie $t = t_0 \tilde t.$
Wir stellen uns vor, da\ss{} die Gr\"o\ss{}en $x_0$ 
und $t_0$ dimensionsbehaftet, die Gr\"o\ss{}en mit $\tilde{}$ 
dimensionslos sind. 
F\"ur die zweite Zeitableitung ist damit 
$d^2/dt^2 = (1/t_0^2) d^2/d{\tilde t}^2.$ 
Erstellen Sie dann aus (II) durch Division mit einer
geeigneten Gr\"o\ss{}e eine dimensionslose Gleichung. Wir k\"onnen
jetzt so \"uber $t_0$ verf\"ugen, da\ss{} die entstehende Gleichung 
m\"oglichst einfach wird (und damit die Form (I) annimmt). 
F\"ur welche Wahl von $t_0$ ist das der Fall
und was ist die physikalische Bedeutung von $t_0$? \\
b) $x_0$ ist v\"ollig aus der Gleichung herausgefallen. Was k\"onnte
das bedeuten?\\
Vorteil der dimensionslosen Beschreibung ist, da\ss{} wir
gewisserma\ss{}en {\it alle} Oszillatoren, die durch verschiedene Werte von
$k$ und $m$ charakterisiert sind, durch die L\"osung  einer einzigen
Gleichung beschreiben k\"onnen. Dar\"uberhinaus erspart deren einfachere
Form Rechenoperationen. 
Ein Nachteil ist, da\ss{} es manchmal
nicht so einfach wie bei diesem Beispiel ist, die dimensionslosen
Resultate wieder in dimensionsbehaftete physikalische Gr\"o\ss{}en
f\"ur ein spezielles Problem (einen speziellen Oszillator) zu
\"uberf\"uhren. 

 
\vfill
\rightline{\tt e-mail an: michi, sts @ica1.uni-stuttgart.de}

\end{document}

                                            











