From sts  Thu Feb  4 13:41:01 1999
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	Thu, 4 Feb 1999 13:41:01 +0100 (MET)
Date: Thu, 4 Feb 1999 13:41:01 +0100 (MET)
From: Stefan Schwarzer <sts>
Message-Id: <199902041241.NAA25968@boa.ica1.uni-stuttgart.de>
To: lui, michi
Subject: blatt 15 und letztes
Status: RO

\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{a4}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{{\it Physik auf dem Computer I}}
\bigskip
\centerline{\bf \"UBUNG 15} 
\medskip
\centerline{\it Diffusionsbeschr\"anktes Wachstum}

\vspace{1.5cm}

In dieser \"Ubung sollen Ideen der Zufallsbewegung mit solchen 
des Wachstums auf einem Gitter kombiniert werden. Das Modell, das wir
im folgenden untersuchen werden, ist unter dem Namen DLA {\it
(diffusion limited aggregation)} bekannt. Wir stellen uns etwa vor, da\ss{} Atome unter
thermischem Einfl\u\ss{} auf einer Kristalloberfl\"ache umherwandern 
k\"onnen. Diese Wanderung modellieren wir durch einen {\it random
walk}. Ein Atom {(\it random walker)} 
kann sich jetzt an einen Wachstumskeim anlagern, 
d.h. einen der Nachbarpl\"atze ({\it growth sites}) eines bereits
besetzten Gitterplatzes belegen, der zu Programmbeginn 
im Zentrum eines Gitters angelgt wurde.  
Dadurch kann z.B. zweidimensionales Kristallwachstum simuliert
werden. 

Da ein aus dem Unendlichen kommendes Teilchen einen Kreis
minimalen Radiusses um diesen 'Kristall' an einer 
zuf\"alligen Stelle durchst\"o\ss{}t, beginnen wit die 
{\it random walks} direkt auf diesem kleinstm\"oglichen Kreis.
Zeit geht allerdings dadurch verloren, da\ss{} der {\it walk}
sich wieder vom Aggregat entfernen kann und es unter Umst\"anden 
lange dauern kann, bis er wieder zur\"uckkehrt. Daher wird er
verworfen und neu gestartet, sobald er sich gen\"ugend weit vom
wachsenden Aggregat enfernt hat (bei uns der doppelte Aggregatradius).

Ein Programm, da\ss{} dieses Modell implementiert, finden Sie in\\ 
\verb|COMPUTERPHYSIK/BLATT15/dla.cc|, \"ubersetzen k\"onnen Sie mit 
\verb|make|.

\bigskip

{\bf Aufgabe 1.\ } {\it fraktale Dimension}\\
Bestimmen Sie die fraktale Dimension, indem Sie sich die Masse des
wachsenden Objektes als Funktion des Radius ausgeben lassen. 
Bestimmen Sie dann in doppelt-logarithmischer Darstellung die 
``asymptotische'' Steigung $d_f$ f\"ur ausreichend gro\ss{}e Radien:
\begin{equation}
  M \sim R^{d_f}
\end{equation}
Machen Sie eine Kopie der Ausgabedaten, denn Sie werden noch in der
n\"achsten Aufgabe ben\"otigt. 

\bigskip

{\bf Aufgabe 2.\ } {\it Modellvarianten}\\ 
(i) {\it endliche
Anlagerungswahrscheinlichkeit.}\ F\"ugen Sie eine \"Anderung in das
Programm ein, so da\ss{} eine Anlagerung an das wachsende Aggregat nur
noch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $p$ stattfindet. Der
Einfachheit halber wollen wir zulassen, da\ss{} ein {\it walker} sich
auch auf bereits belegten Pl\"atzen weiterbewegen kann. Beschreiben
Sie in Ihren Worten die morphologische \"Anderungen f\"ur kleiner
werdendes $p$ (etwa $p=0.5,$ $p=0.3$, $p=0.15$)! 
Bestimmen Sie wiederum $d_f$ aus einer Darstellung der Masse gegen den
Radius. Machen Sie sich im Zweifel die \"Anderungen dadurch
deutlicher, da\ss{} Sie die neuen Daten zusammen mit denjenigen aus
Aufgabe 1 auftragen.  Was f\"allt Ihnen bez\"uglich Masse bei gleichem
Radius sowie Verhalten der Masse als Funktion des Radius auf?\\

(ii) {\it kleinerer Entweichradius.}\ Setzen Sie die
Anlagerungswahrscheinlichkeit wieder auf den Wert $p=1$. \"Andern Sie 
den Radius des Kreises, jenseits dessen die {\it random walks}
verworfen und wieder neu gestartet werden, auf kleinere Werte (bis in
die unmittelbare N\"ahe des Startkreises. Welche 
\"Anderungen ergeben sich an der Form der Aggregate?  
Wiederholen Sie die Analyse der Masse aus 2(ii) und beschreiben Sie
das Resultat.  

\bigskip

{\bf Aufgabe 3.\ } (freiwillig) {\it k\"urzester Weg}\\
Viele Wachstumsmodelle mit definierten ``Eltern-Kind''-Beziehungen
(hier der bereits besetzte Platz, zu dessen Nachbarschaft ein neu
hinzugekommener geh\"ort) lassen es sinnvoll erscheinen, zu jedem
besetzten Platz eine 
topologische Wegl\"ange zum Ursprung zu definieren als 
die L\"ange des k\"urzest m\"oglichen Weges 
von dort zum Ursprung. 

Dieser k\"urzeste Weg kann so gefunden werden: Im fertigen Cluster
erh\"alt der Ursprung den Wert 0, die besetzten 
Nachbarn des Ursprungs, die bisher noch keinen Wert erhalten haben,
den Wert 1, deren Nachbarn den Wert 2, etc. 
Dies entspricht etwa dem ``burning'' Algorithmus, den 
Sie in der letzten \"Ubung benutzt haben, um festzustellen, ob ein 
System perkoliert oder nicht. 

Schreiben Sie eine Routine in der Sie dieses Verfahren f\"ur 
den DLA Fall implementieren. Ein Programmger\"ust, in denen Ihnen das
Debuggen mit Farbgrafik erleichtert wird, finden Sie in 
\verb|dla-path.cc|. Zum Kompilieren ersetzen Sie einfach Ihre Kopie
von \verb|dla.cc| durch \verb|dla-path.cc|.  

















\vfill

\begin{flushright}
\begin{tabular}{lll}
Michael Brunner & Di 9:45 & {\tt michi@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Schwarzer & Di 11:30 & {\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de} 
\end{tabular}
\end{flushright}

\end{document}

                                            




