\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{a4}
\usepackage{german}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer I}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 9 Das Heliumatom der klassischen Physik}
\medskip

Bitte protokollieren Sie Ihre Arbeit an diesem \"Ubungsblatt durch
Beantwortung der Fragen {\it in der Aufgabe 2}. Vergessen Sie nicht, Ihre(n)
Namen auf dem Protokoll zu vermerken und {\it geben Sie dies am Ende der
\"Ubung Ihrem Assistenten.} Sollten Sie an keiner der
\"Ubungsgruppen teilnehmen k\"onnen, so senden Sie Ihre L\"osungen 
bis sp\"atestens zur n\"achsten Vorlesung per e-mail (reines ASCII Format,
bitte keine attachments).

\bigskip

{\bf Aufgabe 1.\ } {\it He$^+$} \\

Mittels des Programmes {\tt he.cc} soll ein hypothetisch 
angenommenes klassisches He$^+$ Ion simuliert werden. In $cgs$-Einheiten lautet das
Coulomb-Gesetz für die Kraft zwischen zwei Teilchen $1$ und $2$ mit
den Ladungen $Z_1 e$ und $Z_2 e,$ 
\begin{equation}
  \vec{F}_{2\to 1} = \frac{Z_1Z_2 e^2}{r^2_{12}} \vec{n}_{2\to 1},  
\end{equation}
wobei $e$ die Elementarladung (Anmerkung: $e=4.803 \times 10^{-10}
cm^{3/2}g^{1/2}s^{-1}$), $r_{12}$ der Abstand der Teilchen und
$\vec{n}_{2\to 1}$ der Einheitsvektor entlang der Verbindungslinie von
$2$ nach $1$ ist. Die Zahlen $Z_1, Z_2$ sind z.B.\ $Z_1=(+2)$
und $Z_2=(-1)$ für den Kern bzw.\ das Elektron von He$^+.$ 
Wenn wir verabreden, alle Abstände in Einheiten des Bohrschen 
Atomradius $a_0 = \hbar^2 / m e^2$ 
sowie alle Massen in Vielfachen der Elektronenmasse $m$ zu messen und
als Zeiteinheit $t_b$ den zunächst bizarr erscheinenden Wert $t_b =
\hbar^3/ m e^4$ zu verwenden, dann wird in diesen problemspezifischen
Einheiten die obige Beziehung noch einfacher:
\begin{equation}
  \vec{F}_{2\to 1} = \frac{Z_1 Z_2}{r^2_{12}} \vec{n}_{2\to 1}.  
\end{equation}
({\it freiwillig:} bestätigen Sie diese Behauptung durch Nachrechnen.)

Mit diesen Vereinbarungen wird die Kreisbahngeschwindigkeit (Einheiten
$a_0/t_b$) für eine Bahn mit $r=1/2$ (Bohr-Radius des
``Grundzustandes'') sehr einfach:
\begin{equation}
  mv^2/r = - (+2) \times (-1)/r^2 \Rightarrow v = \sqrt{2/(rm)} = 1 \quad
  \mbox{für}\ r=0.5,\ m=1
\end{equation}

(a) Bestätigen Sie diesen Wert mit Hilfe des 
Programmes {\tt he+.cc} im Verzeichnis {\tt
  /user0/sts/COMPUTERPHYSIK/BLATT9}, das die sich aus dem obigen
Kraftgesetz ergebenden Bewegungsgleichungen für zwei beliebig schwere
und beliebig geladene klassische Teilchen integriert. 
Um das Programm übersetzen zu können, benötigen Sie 
außerdem die Datei {\tt Vector2D.h} aus demselben Verzeichnis 
{\it (Freaks: siehe Ende dieses Übungszettels).}

(b) Welche Zahl ergibt sich für das Verhältnis $U/T$ von gesamter potentieller
zu gesamter kinetischer Energie? 

\bigskip

{\bf Aufgabe 2.\ } {\it He} 
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(a) Ergänzen Sie das System aus Aufgabe $1$ um ein weiteres Elektron.
Berechnen Sie dazu die Kreisbahngeschwindigkeit für $r=5$ und ein Atom
mit Kernladungszahl $Z_1=+1$ (warum nicht $Z_1=2$?) und starten Sie ein
Elektronen mit $r=1/2$, das andere mit $r=5$ und den in Aufgabe 1 bzw.
soeben berechneten Kreisbahngeschwindigkeiten. Berechnen Sie die Bahn
mit einem Zeitschritt von $dt=0.01$ (Einheit $t_b$) so, daß das äußere
Elektron mindestens 1.5 Kernumrundungen durchführt.\\
Wieviel Zeit benötigt das innere/äußere Elektron für eine Umrundung?\\
Beschreiben Sie die sich einstellende Bewegung qualitativ!

(b) Benutzen Sie die folgenden Anfangsbedingungen:\\ Elektron 1:
$\vec{x_0} = (1,0),$ $\vec{v_0} = (0,\sqrt{2})$\\ Elektron 2:
$\vec{x_0} = (-1,0),$ $\vec{v_0} = (-0.95,0.05)$\\ Wählen Sie eine
Integrationszeit von etwa $30 t_b.$ \\ Versuchen Sie einen geeigneten
Wert f\"ur den Zeitschritt zu finden, der n\"otig ist, damit während
der Integration die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt.\\ 
Wie kurz mu\ss{} dieser Zeitschritt sein und welchen Zahlenwert hat die
Gesamtenergie?\\
Beschreiben Sie den Endzustand des Systems mit Worten! 

(d) {\it (freiwillig)}\ Ändern Sie die Anfangsbedingungen leicht ab
und versuchen Sie zu beurteilen, wie generisch dieser Endzustand ist. 
Wie beurteilen Sie die ``Stabilit\"at'' des Systems im Vergleich 
zu dem, was Sie aus Ihrer Kenntnis der Quantenmechanik erwarten?

(e) {\it (freiwillig)}\ Berechnen Sie das Verhältnis von potentieller zu
kinetischer Energie im Mittel und vergleichen Sie mit Aufgabe 1(b)! 

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\bigskip

{\it Für Waghalsige:} Eine vorbereitete Version des Programmes {\tt
 he+.cc} mit eingebauter grafischer Ausgabe findet sich als {\tt
 he-grafik.cc.} Um diese zu übersetzen zu können, kopiere man noch
das {\tt Makefile}.  Zum Übersetzen tippe man {\tt make,} zur
Ausführung des Programms {\tt he-grafik.} Für Probleme mit der Grafik
wird keine Verantwortung übernommen\dots
 
\noindent Viel Spa\ss{}! 

\vfill
\begin{flushright}
\begin{tabular}{lll}
Michael Brunner & Di 9:45 & {\tt michi@ica1.uni-stuttgart.de} \\
Ansgar Hennecke & Mo 11:30 & {\tt ansgar@theo2.physik.uni-stuttgart.de} \\
Stefan Schwarzer & Di 11:30 & {\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de} \\ 
\end{tabular}
\end{flushright}

\end{document}

