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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{\it  Physik auf dem Computer I}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 8 Ljapunov-Exponenten des chaotischen Pendels}
\medskip

Bitte protokollieren Sie Ihre Arbeit an diesem \"Ubungsblatt [Aufgabe
1, Teil (i) und (ii)]. Bitte
vergessen Sie nicht, Ihre(n) Namen auf dem Protokoll zu vermerken und
{\it geben Sie dies am Ende der
\"Ubung Ihrem Assistenten.} Sollten Sie an keiner der
\"Ubungsgruppen teilnehmen k\"onnen, so senden Sie Ihre L\"osungen bitte
bis sp\"atestens zur n\"achsten Vorlesung per e-mail an Ihren \"Ubungsleiter. 

\bigskip

Die {\it Ljapunov}-Exponenten eines Systems von
Differentialgleichungen erster Ordnung,
\begin{equation} \label{e:system}
  \dot{x} = f(x),
\end{equation}
beschreiben, wie stark die Trajektorien $x(t)$ von den Anfangsbedingungen 
abh\"angig sind. Verfolgt man etwa ein $n$-dimensionales
Parallelepiped im ``Raum'' der Vektoren $x_0$ der m\"oglichen 
Anfangsbedingungen des Systems, so wird sich dieses 
unter der Zeitentwicklung des Sytems
(\ref{e:system}) verformen und, wenn das System nicht
``energieerhaltend'' (konservativ)  
sondern dissipativ ist, das Volumen verringern. Dabei werden
aber in der Regel nicht alle Achsen gleichm\"a\ss{}ig gestreckt, gestaucht oder
rotiert, sondern i.a.\ werden einige verl\"angert und andere verk\"urzt. 
Es zeigt
sich, da\ss{} die zugeh\"origen ``Achsenstreckfaktoren'' $s_i$ in der Regel 
exponentiell von der Zeit abh\"angen, 
\begin{equation}
	s_i = \exp(\lambda_i t); \quad i=1,\dots ,n.
\end{equation}
Die $\lambda_i$ sind die erw\"ahnten {\it Ljapunov}-Exponenten. 
Chaotische Systeme weisen mindestens ein positives $\lambda_i$ auf. 

In dieser \"Ubung wollen wir am Beispiel des chaotischen Pendels, das
Sie in der \"Ubung 7 kennengelernt haben, den {\it gr\"o\ss{}ten\/}
dieser Exponenten $\lambda_0$ 
(als Funktion der antreibenden Ampitude) bestimmen. 

\bigskip

{\bf Aufgabe 1.\ } {\it Ljapunov-Exponent f\"ur Pendel}\\
Wie wir wissen, lautet die Normalform des Differentialgleichungssystems
(\ref{e:system}) f\"ur das chaotische Pendel
\begin{eqnarray} 
  \dot{\omega} &=& - \sin (\theta) -	
    2\gamma \dot{\theta} + \delta \sin (\omega_d t), \\
  \dot{\theta} &=& \omega.
\end{eqnarray}
Verwenden Sie f\"ur das Folgende Ihr Runge-Kutta-Programm zur
Integration dieser Trajektorien oder das 
Programm \verb|pendulum_rk4.cc| aus {\tt /user0/sts/COMPUTERPHYSIK/BLATT7.}
F\"ur diese Aufgabe ist es g\"unstig, $\theta$ {\it nicht} auf einen
bestimmten Wertebereich zu beschr\"anken! 

{\it (i)} Erweitern Sie das Programm so, da\ss{} Sie gleichzeitig
zwei Trajektorien integrieren k\"onnen --- die eine beginnend bei
$\theta^{(0)}(0)$, die andere bei $\theta^{(1)}(0)$ --- und lassen Sie
sich Orte und Geschwindigkeiten beider Trajektorien als Funktion der
Zeit ausgeben. Berechnen Sie die Trajektorien bis $t=200$ f\"ur
$\theta^{(0)}(0) = 0,$ $\theta^{(1)}(0)=10^{-3}$ und tragen Sie den
Absolutbetrag der Differenz der Trajektorien einfach logarithmisch
gegen die Zeit auf. Falls die Spalte 2 und 4 Ihrer Trajektoriendatei die
Positionen enth\"alt, dann kann dies mit den Kommandos \\
\verb|gnuplot> set logscale y| \\
\verb|gnuplot> plot 'data' u 1:(abs($4-$2))|\\
erfolgen. Sch\"atzen Sie den gr\"o\ss{}ten Ljapunov-Exponenten 
$\lambda_0$ grob als mittlere anf\"angliche Steigung (bis zur
S\"attigung der Kurve)
und wiederholen Sie die  obige Prozedur f\"ur die
Winkelgeschwindigkeiten $\omega$. Kombinieren Sie f\"ur Ihr Protokoll 
beide Graphen in einer Darstellung. 

\smallskip

{\it (ii)} Besser ist es, jeweils nach festen Intervallen der 
L\"ange $\tau$ die auftretende Trajektoriendivergenz zu reskalieren.  
Sei zu Beginn 
etwa $\theta^{(1)}(0) = \theta^{(0)}(0) + \Delta \theta(0)$ und 
ebenso $\omega^{(1)}(0) = \omega^{(0)}(0) + \Delta \omega(0)$
mit $\Delta\theta(0) = \Delta \omega(0) = (1/\sqrt 2) \times 
\epsilon.$ 
Nach Ablauf einer Zeitspanne $\tau$ hat sich die L\"ange 
des St\"orungsvektors $(\Delta \theta(t), \Delta\omega(t))$ 
von $\epsilon$ auf einen anderen Wert ver\"andert. 
Wir reskalieren nun, indem wir erst das Verh\"altnis $s(t)$ der 
neuen L\"ange zum  Zeitpunkt $s$ zur alten zur Zeit $t-\tau$ berechnen,
\[
 s(t) = \sqrt{(\Delta \theta)^2(t)+(\Delta \omega)^2(t)} / \epsilon, 
\]
und dann setzen:
\begin{eqnarray}
  \theta^{(1)}(t) &=& \theta^{(0)}(t) + \Delta \theta (t)/s(t), \\  
  \omega^{(1)}(t) &=& \omega^{(0)}(t) + \Delta \omega (t)/s(t).   
\end{eqnarray}
Die L\"ange des ``alten'' St\"orungsvektors bleibt so immer 
gleich $\epsilon$.
Zur Bestimmung des gr\"o\ss{}ten Ljapunov-Exponenten m\"ussen jetzt
noch die Logarithmen dieser Skalierungsfaktoren gemittelt werden. 
Der gesuchte globale Ljapunov-Exponent ist der Mittelwert 
\begin{equation}
  \lambda = (1/N\tau) \sum_{i=1}^N\ln r(t_i)
\end{equation}
wobei $N = t_{\rm gesamt} / \tau$ die Anzahl der Reskalierungen
bezeichnet, die jeweils zu den Zeiten $t_i$ stattgefunden haben
sollen. Integrieren Sie insgesamt mindestens \"uber $1000$ Zeiteinheiten. 
W\"ahlen Sie $\epsilon$ und $\tau$ klein genug, so da\ss{}
$\lambda$ nicht wesentlich (nur im Prozentbereich)
von diesen numerischen Gr\"o\ss{}en abh\"angt.\\ 
Wie gro\ss{} ist $\lambda$ f\"ur die Parameter aus Teil {\it (i)?} \\
Wie gro\ss{} ist $\lambda$ f\"ur $\alpha = 0.5$?\\[\smallskipamount]

{\it (iii)\ } Testen Sie durch Variation der D\"ampfungskonstanten
$\gamma$ die Hypothese, da\ss{} $\lambda$ 
f\"ur $\alpha = 0.5$ im Rahmen Ihrer Rechengenauigkeit 
mit dem Zahlenwert der negativen D\"ampfung $-\gamma$ \"ubereinstimmt.
Wie beurteilen Sie Ihr Ergebnis?

{\it (iv) (freiwillig)\ } Variieren Sie $\alpha$ im Bereich $0\dots
2.2$ in kleinen Schritten und plotten Sie $\lambda$ gegen $\alpha.$
Was finden Sie bemerkenswert?
\bigskip

{\bf Aufgabe 2.\ } {\it stroboskopische Darstellung, freiwillig} \\
Die Komplexit\"at einer zeitkontinuierlichen Bewegung l\"a\ss{}t sich
reduzieren, wenn man sie in geeigneter Weise in eine
zeitdiskrete Abbildung \"uberf\"uhrt. Dies kann bei einer periodisch
angetriebenen Bewegung z.B. dadurch geschehen, da\ss{} man die
Trajektorien $(\theta(t),\omega(t))$ nur an Zeitpunkten $t_i$
betrachtet, die bez\"uglich der {\it antreibenden} Periode eine feste
Phasenlage aufweisen, d.h.\ zum Beispiel zu den Zeiten $t_i= 2\pi i/
\omega_d$ oder $t_i = 2\pi i/ \omega_d + \pi /2,$ etc.
  
Erstellen Sie 2 Graphiken zu verschiedenen Phasenlagen f\"ur den
bekannten Parametersatz mit $\alpha = 1.2$

\bigskip

\noindent Viel Spa\ss{}! 

\vfill
\begin{flushright}
\begin{tabular}{lll}
Michael Brunner & Di 9:45 & {\tt michi@ica1.uni-stuttgart.de} \\
Ansgar Hennecke & Mo 11:30 & {\tt ansgar@theo2.physik.uni-stuttgart.de} \\
Stefan Schwarzer & Di 11:30 & {\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de} \\ 
\end{tabular}
\end{flushright}

\end{document}


