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\textheight=23cm

\begin{document}

\centerline{{\it Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"UBUNG 8} 
\medskip
\centerline{\it Einf\"uhrung in Maple}

{\bf Hinweis/L\"osungen.\ } Es ist nicht Sinn dieser \"Ubungen, alle
Aufgaben zu bearbeiten oder in einer bestimmten Reihenfolge
vorzugehen.  Bearbeiten Sie die Aufgaben, die Ihnen zusagen, soweit
Sie mit dem Wissen aus der Vorlesung, Ihrem Vorwissen und der
Hilfefunktion von Maple kommen, und geben Sie bitte als Protokoll der
\"Ubungen ein sinnvoll gek\"urztes, ausgedrucktes Maple Arbeitsblatt
in einfachem Textformat ab. \\
\centerline{Fragen und Kommentare an:\hfill 
	{\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de}} 
\medskip

\bigskip

{\bf Aufgabe 0 ~~~Finger\"ubungen...}\\
Starten Sie Maple auf Ihrem Rechner durch die Eingabe von
\verb|xmaple| (die momentane Version auf dem CIP CLuster ist dei
bereits etwas angestaubte V/Release 3).
Machen sie sich mit der Benutzung der Maple-Men\"us (insbesondere der 
Hilfefunktion vertraut).

{\bf Aufgabe 1 ~~~Integration} \\
Berechnen Sie folgende Integrale mit Maples Hilfe.  Nehmen Sie einfach
das n\"achste Beispiel, wenn Sie steckenbleiben. Wo m\"oglich,
pr\"ufen Sie das Resultat durch Differenzieren.
\smallskip
 
i)  $\int_{-\pi}^\pi x^8 sin(x)\, dx$ \\
ii) $\int \sqrt{e^x-1}\, dx$\\
iii) $\int_0^\infty \exp(-x) ln(x)\, dx$\\
iv) $\int_0^1 x \arctan(x)\, dx$\\   
v) $\int_0^\infty 1/ \cosh(ax) \,dx$\\
\smallskip

{\it Tips:} Benutzen Sie {\tt with(student); } und achten Sie auf die
Funktionen, die Maple definiert. Falls sinnvoll, geben Sie Maple
zus\"atzliche Information \"uber Parameter mit.

{\bf Aufgabe 2 ~~~Lineare Algebra} \\
F\"ur die folgenden Aufgaben wird das Paket {\tt linalg}
ben\"otigt. Achten Sie wieder auf die Funktionen, die dort definiert
werden:

i) Spezifizieren Sie eine $3 \times 3$ Matrix mit Koeffizienten Ihrer Wahl. \\
ii) Bestimmen Sie deren charakteristisches Polynom und mit {\tt solve}
dessen Nullstellen (die Eigenwerte der Matrix), wenn n\"otig \"uber 
den komplexen Zahlen.\\
iii) Setzen Sie die Matrix in das charakteristische Polynom ein und zeigen 
Sie, da\ss{} die Matrix dieses Polynom ebenfalls l\"ost (Satz von 
{\it Cayley-Hamilton}).    

\pagebreak
{\bf Aufgabe 3 ~~~Fouriertransformation} \\
Alle numerischen Verfahren zur Fouriertransformation arbeiten nur 
auf endlichen Ausschnitten der zu transformierenden Funktion.  
Wir wollen zwei verschiedene Ans\"atze untersuchen, aus einem Signal 
$s(t) = cos ( \omega_0 t )$ und einer Fensterfunktion $w(t)$ ein zeitlich 
auf das Interval $[-T\dots T]$ 
begrenztes Signal $f(t) = w(t)s(t)$ zu machen. 

{\it i)} Welche Definition der Fouriertransformierten verwendet Maple 
in der Prozedur {\tt fourier}?

{\it ii)} 
Zun\"achst schneiden wir $s(t)$ einfach zu Zeiten $|t|>T$ ab. 
Formulieren Sie $w(t)$ mit Hilfe von $\theta(t)$
({\tt Heaviside(t)}) und benutzen Sie {\tt fourier}, um die
Transformierte zu bestimmen. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit
m\"oglich und vergleichen Sie mit dem Ergebnis, da\ss{} Sie f\"ur eine
Transformation des Signales $s(t)$ erwarten.
Mit welcher Potenz der Frequenz f\"allt das Spektrum bei 
$|\omega| \to \infty$ auf 0 ab? 

{\it iii)} Benutzen Sie jetzt statt der Rechteckfunktion eine
invertierte Parabel, die bei $t=0$ ihr Maximum $1$ annimmt und bei
$\pm T$ verschwindet. Um ein halbwegs verst\"andliches Ergebnis zu
bekommen, m\"ussen Sie vermutlich {\tt int, evalc, simplify}
arbeiten. Welches asymptotische Verhalten ergibt sich jetzt f\"ur
$\omega \to \infty?$ Stellen Sie das jetztige Ergebnis f\"ur $\omega_0
= 1$ und $T=20$ mit dem aus Aufgabe {\it i)} gemeinsam in einem Plot
mit $|\omega| < 5$ dar und fertigen Sie einen Ausdruck an.

{\it iv)} 
Die Datei {\tt timeseries.d} enth\"alt eine Zeitserie von 2048 Punkten. 
Lesen Sie diese mit Hilfe von {\tt readdata} ein, bringen Sie die Daten 
mittels {\tt seq} in das von {\tt FFT} erforderte Format, 
und bestimmen Sie das Leistungsspektrum 
$P(\omega) = |{\cal F}(\omega)|^2 + |{\cal F}(-\omega)|^2$ 
der Daten f\"ur positive $\omega$.   
Erstellen Sie danach eine grafische, punktweise Darstellung der Daten. 

{\bf Aufgabe 4 ~~~Nullstellen} \\
{\it i)} Bestimmen Sie die L\"osungen des Systems 
  ${ x^2 + y^2=5,~ xy=y^2-2 }$ sowohl mit {\tt solve} und {\tt
allvalues} als auch \\
{\it ii)} mit {\tt fsolve.} Hier m\"ussen Sie beachten, da\ss{} {\tt
fsolve} nur alle L\"osungen von Polynomen finden kann. Das System
mu\ss{} daher vorher durch Substitution auf eine entsprechende Form
gebracht werden. 

{\bf Aufgabe 5} \\ 
{\it i)} Analysieren Sie die Maple-Prozedur {\tt
gauss.ms} zur Bestimmung der Integrationsgewichte und -st\"utzpunkte
der Gau\ss{}-Integration, die sie entweder in Ihrem Skript oder sonst
im entsprechenden Verzeichnis im CIP-Cluster finden.\\
{\it ii)} Warum ergeben sich Probleme, wenn \verb|solve| 
statt \verb|fsolve| verwendet wird? Bestimmen Sie alle 
Nullstellen des Legendre-Polynoms 10ter Ordnung! 
                
\end{document}









