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\newcommand{\rmd}{{\rm d}}
\parindent 0 pt

\begin{document}

\centerline{{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 4} 
\medskip
\centerline{\it Numerische Interpolation}

{\bf L\"osungen.\ } 
Bitte protokollieren Sie Ihre L\"osungen wieder schriftlich und 
geben Sie das Protokoll am Ende der \"Ubung oder bis sp\"atestens zum
auf die \"Ubung folgenden Donnerstag ab. Erstellen Sie - falls n"otig
- auch Ausdrucke der Diagramme.\\
\centerline{Fragen an:\hfill 
\begin{tabular}{lr}
Marc L\"atzel & \texttt{marc@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Christian Manwart & \texttt{chris@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Schwarzer & \texttt{sts@ica1.uni-stuttgart.de}\\
\end{tabular}}

\medskip

\vspace{1.0cm}

{\bf Aufgabe 1}

Interpolieren Sie die tan-Funktion mit Hilfe des Neville-Schemas. 
Verwenden Sie als St"utzstellen die Werte aus der Datei {\tt
  tan.dat}.
   
a) Verwenden Sie alle 6 St"utzstellen zur Interpolation. Stellen Sie
das Ergebnis mit {\tt gnuplot} dar. Erstellen Sie auch ein Diagramm,
welches den relativen Fehler
\begin{equation}
  \epsilon(x) = \frac{|\tan(x)-y|}{|\tan(x)|}
\end{equation}
an mindestens f"unf Punkten zwischen den St"utzstellen zeigt. Wo ist
der relative Fehler am gr"o"sten.

b) Verwenden Sie nun nur jeweils drei aufeinanderfolgende St"utzstellen
zur Interpolation, d.h. $(x_1,x_2,x_3), (x_2,x_3,x_4), (x_3,x_4,x_5),
\dots$. Stellen Sie die Ergebnisse in einem gemeinsamen Schaubild
dar. 

c) (freiwillig) Lassen Sie sich die Koeffizienten des Neville-Schemas
ausgeben. Stellen Sie das Interpolationspolynom auf und vergleichen
Sie es mit der Taylorentwicklung der tan-Funktion. Wie m"u"ste man die
Interpolationsaufgabe modifizieren um die "Ubereinstimmung zu verbessern.

{\bf Hinweise:} 

Eine Routine zur Berechnung der Neville-Koeffizienten finden Sie im
Skript und als Datei in {\tt pts\_neville.h}. F"ugen Sie eine Routine
hinzu, die einen Wert x als Parameter nimmt und den interpolierten Wert
y(x) zur"uckliefert.  Ihr Hauptprogramm k"onnen Sie auf {\tt
  main\_interpol.cc} aufbauen. Es enth"alt bereits eine Routine zum
Einlesen der St"utzstellen. Vorschlag f"ur Fortgeschrittene: F"ugen
Sie die Routine { \tt pts\_neville} in eine Klassenstruktur ein und
"uberladen Sie den Klammeroperator {\tt operator()}.

\pagebreak

{\bf Aufgabe 2}

Interpolieren Sie ein Lennard-Jones-Potential,
\begin{equation}
  \phi(x) = \sigma\left( (x-x_o)^{-12} - (x-x_o)^{-6} \right)
  .
\end{equation}
Vergleichen Sie die Interpolation des Neville-Schemas mit der
rationalen Interpolation und der Spline-Interpolation analog zu
Aufgabe 1a).  Suchen Sie Erkl"arungen f"ur
die beobachteten Unterschiede in der G"ute der Interpolation. \\


{\bf Hinweise:} 

Die ben"otigten Routinen finden Sie in {\tt RatInterpol.cc} und {\tt
  Spline.cc}. Eine Datei mit St"utzstellen f"ur $\sigma=4$ und
$x_o=-0.85$ in {\tt lennard.dat}.

\vfill

{\bf Die n"achsten "Ubungen finden am 18.5.1999 statt.} 

\end{document}

