\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{a4}
\usepackage{german}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{\it Physik auf dem Computer I}
\medskip
\centerline{\bf \"Ubung 10 Populationsdynamik}


\bigskip

Bitte protokollieren Sie Ihre Arbeit an diesem \"Ubungsblatt durch
Beantwortung der Fragen. Vergessen Sie nicht, Ihre(n)
Namen auf dem Protokoll zu vermerken und {\it geben Sie dies am Ende der
\"Ubung Ihrem Assistenten.} Sollten Sie an keiner der
\"Ubungsgruppen teilnehmen k\"onnen, so senden Sie Ihre L\"osungen 
bis sp\"atestens zur n\"achsten Vorlesung per e-mail (reines ASCII Format,
bitte keine attachments).

\bigskip

Das einfachste Wachstumsgesetz ist das exponentielle
\begin{equation}
 y(t)= y(0)\exp(b-m)t, 
\end{equation}
das sich ergibt, wenn man ausgehend von einer
Population von $y(t)$ Individuen zur Zeit $t$ annimmt, da\ss{} 
$by(t)$ Geburten und $my(t)$ Todesf\"alle pro Zeiteinheit
stattfinden, m.\ a.\ W.
\begin{equation} 
  \dot{y} = (b - m) y(t).	
\end{equation}
Das exponentielle Wachstum findet nun Schranken in der Population selbst,
im verf\"ugbaren Lebensraum oder den endlichen Resourcen. Unter diesen
Umst\"anden ist das logistische Wachstumsmodell realistischer:
\begin{equation}\label{e:logistic}
  \dot{y} = r y(1-y/K), 
\end{equation}
in dem $r$ die Rolle der (konstanten) Geburtsrate und $ry/K$ die Rolle 
der Todesfallrate spielt.\\ 

\bigskip

\noindent {\bf Aufgabe 1.\ } {\it Logistische Gleichung} \\
(i) Zeigen Sie durch ein  Mittel Ihrer Wahl (per Hand, Nachrechnen mit 
    \verb|maple|,...), 
da\ss{} 
\begin{equation} \label{e:sol-logistic}
  y(t) = \frac{K}{1 + (\frac{K}{y(0)}-1) e^{-rt}} 
\end{equation}
die Differentialgleichung (\ref{e:logistic}) l\"ost. 
Plotten Sie diese Funktion mittels \verb|gnuplot|. 
Interpretieren
Sie die Bedeutung des Parameters $K.$\\
(ii) Vergleichen Sie (\ref{e:sol-logistic}) f\"ur kleine positive $t$
mit einer Exponentialfunktion. Wie mu\ss{} $b - m$ durch $K$ und $r$ 
ausgedr\"uckt werden, damit f\"ur diesen Grenzfall kleiner $t$ das 
Wachstum beschrieben wird? \\

\bigskip

\noindent {\bf Aufgabe 2.\ } {\it (Lotka-)Volterra Gleichung}\\
Schreiben Sie {\it (freiwillig: selbstst\"andig)} ein Programm zur 
Integration der Volterra-Gleichung
\begin{eqnarray}
  \label{e:volterra}
  \dot{y}_0 & =& \ b y_0 - y_1 y_0, \\ 
  \dot{y}_1 & =& -m y_1 + y_0 y_1
\end{eqnarray}
mit Hilfe eines Runge-Kutta-Verfahrens vierter Ordnung. Einen
L\"osungsansatz finden Sie 
in \verb|/user0/sts/COMPUTERPHYSIK/BLATT10/volterra.cc.| Beachten Sie,
da\ss{} zur Kompilation auch die Datei \verb|Vector2D.h| ben\"otigt
wird.\\
(i) Welche Frequenz und Amplituden der
R\"auber/Beute-Funktionen ergeben
sich mit $b=0.1$ und $m=0.2,$ und den Anfangsbedingungen
$y(0)=(1/4,1/4),$ $y(0)=(1/2,1/2)$ und $y(0)=(1,1)$?\\
(ii) Halten Sie aufgrund Ihrer Beobachtungen das Volterra-Modell 
zur Beschreibung nat\"urlich vorkommender Systeme f\"ur
grunds\"atzlich geeignet? Begr\"unden Sie Ihre Antwort!\\ 
(Hinweis: welche Abh\"angigkeit von den 
Anfangsbedingungen erwarten Sie in nat\"urlichen Systemen)? \\
(iii) Erg\"anzen Sie die Volterra-Gleichung zur 
Lotka-Volterra-Gleichung, indem Sie in der ersten Komponente den
ersten Beitrag nicht proportional zu $y_0,$ sondern zu $y_0 (1-y_0/K)$
w\"ahlen. Beschreiben Sie f\"ur $K=0.5$ und $K=10$ sowie $y(0)=(1/4,1/4)$
das Verhalten der L\"osung. Wie kann man einen Fixpunkt 
(station\"are, zeitunabh\"angige L\"osung) der Lotka-Volterra-Gleichung 
analytisch erhalten? 

\bigskip

\noindent {\bf Aufgabe 3.\ } {\it freiwillig: Ein weiterentwickeltes Modell}\\
Interessierte m\"ogen sich das Programm \verb|deer.cc| anschauen.
Dazu sollten Sie neben \verb|deer.cc| auch das \verb|Makefile| aus
\verb!COMPUTERPHYSIK/BLATT10/! kopieren und mit \verb|make|
\"ubersetzen (ggfs. auch das dort abgelegte Programm
\verb|deer| direkt starten, wenn es bei der Kompilation Probleme gibt)\\
(i) Beobachten Sie Populationsoszillationen?

 
\vfill
\begin{flushright}
\begin{tabular}{lll}
Michael Brunner & Di 9:45 & {\tt michi@ica1.uni-stuttgart.de} \\
Ansgar Hennecke & Mo 11:30 & {\tt ansgar@theo2.physik.uni-stuttgart.de} \\
Stefan Schwarzer & Di 11:30 & {\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de} \\ 
\end{tabular}
\end{flushright}


\end{document}

