\documentclass[12pt]{article}
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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\centerline{{\it Physik auf dem Computer I}}
\medskip
\centerline{\bf \"UBUNG 13} 
\smallskip
\centerline{\it Random Walk}

\vspace{1.0cm}

Bitte protokollieren Sie Ihre Arbeit an diesem \"Ubungsblatt wieder durch
Beantwortung der Fragen (Aufgabe 1 (ii)-(iii)). Vergessen Sie nicht, Ihre(n)
Namen auf dem Protokoll zu vermerken und {\it geben Sie dies am Ende der
\"Ubung Ihrem Assistenten.} Sollten Sie an keiner der
\"Ubungsgruppen teilnehmen k\"onnen, so senden Sie Ihre L\"osungen 
bis sp\"atestens zur n\"achsten Vorlesung per e-mail (reines ASCII Format,
bitte keine attachments).

\medskip

{\bf Anleitung.\ } \\
Ein {\it random walk\/} ist eine Zeitreihe von skalaren oder
vektoriellen Werten $x(t)$, 
die durch Aufsummierung von Zufallszahlen/vektoren $z_i$ entsteht: $x(t) =
\sum_i^t z_i.$ 
 
In dieser \"Ubung sollen Sie ein Programm schreiben, das einen
zweidimensionalen {\it random walk} erzeugt, indem mit gleicher
Wahrscheinlichkeit zuf\"allig jeweils einer der Vektoren $z_i \in
\{(1,0),\ (0,1),\ (-1,0),\ (0,-1)\}$ generiert und dann zu einem
zweidimensionalen {\it random walk} $x(t)$ aufaddiert wird. Verwenden
Sie einen geeigneten Zufallszahlengenerator aus der letzten \"Ubung,
um diese Auswahl zu treffen (Programme in
\verb|~sts/COMPUTERPHYSIK/BLATT13|.)

Anschaulich kann ein solcher {\it random walk} z.B. die Brownsche
Zufallsbewegung eines kleinen Teilchens auf einer
Fl\"ussigkeitsoberfl\"ache darstellen.

\bigskip

{\bf Aufgabe 1.\ } 

(i) Stellen Sie {\it random walks} der L\"ange 10, 100, 1000, 10000
und 100000 auf dem Bildschirm dar. Die einfachste M\"oglichkeit ist
die Ausgabe von $t, x_0(t), x_1(t)$ auf das Terminal und die Umleitung
in eine Datei. Diese Daten k\"onnen dann mit {\tt gnuplot} dargestellt
werden, z.B. {\tt plot 'daten.1' u 2:3 w l}.  Das Schl\"usselwort
\verb|every| erlaubt Ihnen, die darzustellenden Daten aus der Datei
auf einen bestimmten Ausschnitt zu beschr\"anken.  Tippen Sie
\verb|help plot every| in \verb|gnuplot|, um mehr Information zu
erhalten.

(ii) Berechnen Sie die Erwartungskoordinate von 1000 {\it random
walks} nach $t=1000$ Schritten, d.h. das erste Moment: $\langle
\mathbf{R}(t)\rangle \equiv (\langle x_0(t)-x_0(0)\rangle,\langle
x_1(t)-x_1(0)\rangle )$, und die Varianz, d.h. das zweite Moment
$\langle \mathbf{R}^2(t)\rangle \equiv ( \langle
[x_0(t)-x_0(0)]^2\rangle, \langle [x_1(t)-x_1(0)]^2 \rangle ) $, wobei
$t$ die Anzahl der Schritte ist und $(x_0(0),x_1(0))$ die
Anfangskoordinaten darstellen. Die Klammern $\langle\rangle$ deuten
den Mittelwert \"uber verschiedene Realisierungen des {\it random
walk} an.

(iii) Berechnen Sie $\langle \mathbf{R}^2(t)\rangle$ f\"ur
verschiedene $t$ = 10, 20, 40, 100, 200, 400, 1000, 2000, und
4000. Zeichnen Sie die Komponenten von $\langle
\mathbf{R}^2(t)\rangle$ als Funktion von $t$. Welche funktionale
Abh\"angigkeit stellen Sie fest?

\bigskip

{\bf Aufgabe 2.\ } (freiwillig)

Erstellen Sie nun f\"ur 1000 {\it random walks} der L\"ange $t$=1000 ein 
Histogramm der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in $x$- und $y$-Richtung
Wenn Sie das n\"otige Histogramm nicht selber programmieren wollen, so finden
sie ein Beispiel in \verb|histogram.cc|.
Verbessern Sie die Statistik durch eine Mittelung \"uber mehr
{\it random walks}, z.B. 10000, und versuchen Sie eine Gau\ss{}kurve 
mit {\tt gnuplot} an die Daten anzupassen.


\vfill

\begin{flushright}
\begin{tabular}{lll}
Michael Brunner & Di 9:45 & {\tt michi@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Schwarzer & Di 11:30 & {\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de} 
\end{tabular}
\end{flushright}


\end{document}

                                            




