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\textheight=23cm

\begin{document}

\centerline{{\it Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"UBUNG 9} 
\medskip
\centerline{\it Ising-Spingl\"aser und Simulated Annealing}

{\bf Hinweis/L\"osungen.\ } \\ 
Wir erwarten im Protokoll nur Antworten auf explizit im Text
gekennzeichnete Fragen.\\ 
\centerline{Fragen und Kommentare an:\hfill 
	{\tt sts@ica1.uni-stuttgart.de}} 

\medskip
{\bf Einf\"uhrung} \\ In dieser Aufgabe wollen wir das Ising-Model und
davon abgeleitete Spingl\"aser mit Hilfe der Monte-Carlo Methode und
des Simulated Annealing untersuchen.  Sie finden in
\verb|BLATT9/spinglass.cc| ein Programm, das die Grundstruktur
f\"ur die \"Ubung vorgibt und sich mit Hilfe des dort ebenfalls
vorhandenen \verb|Makefile|s \"ubersetzen l\"a\ss{}t.  Die Simulation
findet statt auf einem Feld von \verb|Node|'s, deren Datenelemente
den Wert der Einzelspins sowie die Werte der Kopplungskonstanten zu
den Nachbarfeldern rechts und oben speichern. Die Randbedingungen
wollen wir als periodisch annehmen. In unserem Falle wird das durch
die Einf\"uhrung einer Schattenreihe unterst\"utzt, die die Elemente
jeden Randes am jeweils gegen\"uberliegenden wiederholt. Bei einer
Zustands\"anderung eines Spinzustandes wird dann mittels
einer Kopieroperation die Konsistenz der Datenwerte sichergestellt. 

\bigskip

{\bf Aufgabe 1 ~~~ Hill Climbing} \\
Die Energie des Gesamtmodelles ist die Summe
\begin{equation}
	E = - \sum_{\langle i,j\rangle} J_{ij} s_i s_j
\end{equation}
\"uber n\"achste Nachbarn $\langle i,j\rangle.$ \\
i) 
Wie lautet die Beziehung f\"ur die Energie{\it \"anderung\/}
$\Delta E$ des Systems, wenn der Spin $s_i$ umklappt nach $s_i'$?
Aus der obigen  Formel sollte klarwerden, da\ss{} diese
Energie\"anderung als eine Summation allein \"uber die Nachbarn von
$s_i$ geschrieben werden kann. 
Schreiben Sie eine Routine, die $\Delta E$ berechnet. 
Verfolgen Sie in den folgenden Aufgaben immer die 
Gesamtenergie\"anderung in Bezug auf die
(unbekannte) Energie des Ausgangszustandes des Systemes. \\
ii) Implementieren Sie nun ein Hill Climbing, d.h. 
\begin{enumerate}
	\item ermitteln Sie zuf\"allig einen Spin,
	\item berechnen Sie die Energie\"anderung bei Richtungsumkehr, 
	\item \"andern Sie die Spinrichtung, wenn die Energie dadurch
	    sinkt. 
\end{enumerate} 
iii) Starten Sie mit anf\"anglich zuf\"allig ausgerichteten Spins. 
Achten Sie darauf, da\ss{} alle Kopplungsst\"arken $J_{ij}=-1$ sind und
verwenden Sie gerade Zahlen als Felddimensionen (warum?).
Beschreiben Sie die Zeitentwicklung der Energie\"anderung und den sich
einstellenden ``End''zustand. Warum stellt sich nicht der Grundzustand
ein?

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{\bf Aufgabe 2 ~~~ Monte Carlo Dynamik}

i) Schreiben Sie eine weitere Routine, die jetzt eine
Monte-Carlo-Zugentscheidung durchf\"uhren soll. Diese besteht darin, 
mit Wahrscheinlichkeit
\begin{equation}
	p(\Delta E) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-\beta \Delta E},~~
	  & \Delta E >  0 \\
	1, & \mbox{sonst} \end{array} \right.
\end{equation}
eine vorgeschlagene Spinumkehr durchzuf\"uhren.\\ 
ii) W\"ahlen Sie zun\"achst $\beta = 1$ und f\"ugen Sie diese Routine
so in Ihren Algorithmus ein, da\ss{} ein Monte-Carlo Verfahren entsteht:
\begin{enumerate}
	\item ermitteln Sie zuf\"allig einen Spin,
	\item berechnen Sie die Energie\"anderung bei Richtungsumkehr, 
	\item lehnen Sie den Zug gem\"a\ss{} der vorstehenden Regeln
  	    ab oder nehmen Sie ihn an. 
\end{enumerate} 
iii) F\"uhren Sie kurze Simulationen mit $\beta= 0.2,~0.5,~1.0$ aus und
beschreiben Sie die sich einstellenden Gleichgewichtszust\"ande! 

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{\bf Aufgabe 3~~~Spingl\"aser}

i) W\"ahlen Sie die anf\"anglichen Kopplungsst\"arken $J_{ij}$
zuf\"allig zu $+1$ oder $-1.$\\
ii) Implementieren Sie eine lineare 
Abk\"uhlungsstrategie $\beta^{-1} = T(t) = T_0 ( 1- t/t_{\rm max}),$ 
mit $\beta(t=0) \approx 0.25$
und beurteilen Sie diese im Hinblick auf die Minimalenergie 
des gefundenen ``Grund''zustandes f\"ur verschiedene 
$T=1000, 10000, 100000.$\\
iii) (freiwillig) Testen Sie auf \"ahnliche Weise andere
Abk\"uhlstrategien (anderes $\beta_0$, exponentielles K\"uhlen durch
Mutliplikation von $\beta$ mit
Zahlen gerinf\"ugig $<1$)
\end{document}









