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\newcommand{\rmd}{{\rm d}}
\parindent 0 pt

\begin{document}

\centerline{{\it Vorlesung: Physik auf dem Computer II}}
\bigskip
\centerline{\bf \"Ubung 11} 
\medskip
\centerline{\it Lineare Algebra}

{\bf L\"osungen.\ } 
Bitte protokollieren Sie Ihre L\"osungen wieder schriftlich und 
geben Sie das Protokoll am Ende der \"Ubung oder bis sp\"atestens zum
auf die \"Ubung folgenden Donnerstag ab. Erstellen Sie - falls n"otig
- auch Ausdrucke der Diagramme.\\
\centerline{Fragen an:\hfill 
\begin{tabular}{lr}
Marc L\"atzel & \texttt{marc@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Christian Manwart & \texttt{chris@ica1.uni-stuttgart.de}\\
Stefan Luding & \texttt{lui@ica1.uni-stuttgart.de}
\end{tabular}}

\medskip

\vspace{1.0cm}

In der Festk"orperphysik begegnet man immer wieder dem Problem der
linearen Kette. Im einfachsten Fall besteht eine solche Kette aus $n$
Atomen der Massen $m$, welche jeweils paarweise mit Federn verbunden
sind. Die Federkonstante sei $D$, die Ruhel"ange $L$.

Betrachten Sie ein System aus 6 Massepunkten, deren Ruhelagen den
Abstand $L$ voneinander haben. Die beiden Massenpunkte an den Enden seien
ebenfalls im Abstand $L$ mit einer festen Wand verbunden.
\begin{center}
  \epsfig{file=skizze.eps, width=0.8\linewidth}
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems auf und bringen
Sie sie in die Form 
\begin{equation}
  \ddot{\vec x} = \frac{D}{m} {\mathbf T} \vec x
  .
\end{equation}

b) Zur L"osung dieses lineare Differentialgleichungssystems macht man
den Ansatz
\begin{equation}
  \vec x = \sum_l \alpha_l \vec y_l \exp(i\omega_l t)
  .
\end{equation}
Dieser Ansatz f"uhrt auf die Eigenwertgleichung. Die Eigenvektoren
k"onnen dabei als die Eigenschwingungen $\vec y_l$ identifiziert
werden. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingungen
des Systems mit {\tt xmaple}.

c) Interpretieren Sie die gefundenen Eigenschwingungen durch eine
geeignete graphische Darstellung. Wieviele Knoten haben die jeweiligen
Eigenschwingungen.

\bigskip

{\bf Aufgabe 2}

a) Variierien Sie nun das Sytem indem Sie offene R"ander
einf"uhren. Wie "andert sich die Matrix ${\mathbf T}$?

b) F"uhren Sie die Analyse von oben durch und stellen Sie die
gefundenen Eigenschwingungen wieder graphisch dar.

\vspace{2.0cm}

\begin{center}
  {\bf Die n"achsten "Ubungen finden am 06.07.1999 statt.} 
\end{center}

\end{document}




